Iker Saez-Hexagonoa

r = 2
360/6 = 60

C = (2,0)

D= 260 = 2(cos60 + i.sin60) = 2(1/2 + i.3/2) = 1+i.3 = (1,3) dira erpin honen koordenatuak.

E= 2120 = 2(cos120 + i.sin120) = 2(-1/2 + i.3/2) = -1+i.3 = (-1,3) dira erpin honen koordenatuak.

F = (-2,0)

A= 2240 = 2(cos240 + i.sin240) = 2(-1/2 + i.(-3/2)) = -1+i.(-3 )= (-1,-3) dira erpin honen koordenatuak.

B= 2300 = 2(cos300 + i.sin300) = 2(1/2 + i.(-3/2)) = 1+i.(-3 )=(1,-3) dira erpin honen koordenatuak.

PENTAGONOA!

FORMA POLARREAN:
272º,

2144º,

2216º

2288º,

2360º

FORMA BINOMIKOAN:
272º = 2(cos72+isin72) = 0,62+1,72i
2144º = 2(cos144+isin144) = -1,62+1,16i
2216º = 2(cos216+isin216) = -1,62-1,16i
2288º = 2(cos288+isin288) = 0,62-1,9i
2360º = 2(cos360+isin360) = 2+0i

KOORDENATUAK:
D: (0,62,1,72)
E: (-1,62,1,16)
A: (-1,62,-1,16)
B: (0,62,-1,9)
C: (2,0)

Unai Ibarretxe. Hexagonoa

Argi eta garbi ikus dezakegu hexagono erregular batek triangelu aldekidez eginda dagoela, beraz barruko angeluak 60º sortzen dituzte eta hexagonoaren erpinak 120º eratzen dituztela.

A erpina

A: sin30=-x/r x=-r.sin30=-2.1/2=-1

cos30=-y/r y=-r.cos30=-2.(erro3/2)=-(erro3)

A=(-1, -(erro3))

A=-1-erro3i

A r=erro(x.x+y.y)=erro((-1).(-1)+(-erro3)(-erro3)=2

x=arctan(-erro3)/(-1)=arctan(erro3)=240º

A=2 240º

B: sin60=-y/r y=-rsin60=-2.(-erro3)/2=-erro3

cos60=x/r x=r.cos60=2.1/2=1

B=(1,-erro3)

B=1-(erro3)i

B r=erro(x.x+y.y)=erro(1.1+(-erro3)(-erro3)=2

x=arctan-erro3/1=arctan-erro3=300º

B=2 300º

C=(2,0)

C=2+0i

C r=erro(x.x+y.y)=erro(2.2+0.0)=2

x=arctan 0/-2=arctan 0=0º

C=2 0º

D: sin30=x/r x=rsin30=2.1/2=1

cos30=y/r y=r.cos30=2.erro3/2=erro3

D=(1,erro3)

D=1+erro3i

D r=erro(x.x+y.y)=erro(1.1+erro3.erro3)=2

x=arctanerro3/1=arctanerro3=60º

D=2 60º

E: sin30=-x/r x=-r.sin30=-2.1/2=-1

cos30=y/r y=r.cos60=2.erro3/2=erro3

E=(-1, erro3)

E=-1+erro3i

E r=erro(x.x+y.y)=erro(-1.(-1)+erro3.erro3)=2

x=arctanerro3/-1=arctan-erro3=120º

E=2 120º

F=(-2,0)

F=-2+oi

F r=erro(x.x+y.y)=erro(-2.(-2)+0.0)=2

x=arctan0/-2=arctan0=180º

F=2 180º

Pentagonoa.Gaizka Puntiverio

PENTAGONOA
α1 = β/n
α2 = β/n + (360º/n)
α3 = β/n + (360º/n).2

Segida moduan definituta: αn = β/n + (360º/n).(n-1)

Pentagonoa 5 erpin→ α1= β/n →90º = β/5 ; β = 450º

α2 = 450/5 + (360º/5) = 90º + 72 = 162º

α3 = 450/5 + (360º/5) x 2 = 90º + 72 x 2 = 234º

α4 = 450/5 + (360º/5) x 3 = 90º + 72 x 3 = 306º

α5 = 450/5 + (360º/5) x 4 = 90º + 72 x 4 = 378º

ERPINAK:

r.α1 = 2 90º = x1 = 2cos 90º = 0 y1 = 2sen 90º = 2 →0 + 2i
r.α2 =2 162º = x2 = 2cos 162º = -1,90 y2 = 2sen 162º = 0,61 →-1,90 + 0,61i

r.α3 =2 234º = x3 = 2cos 234º = -1,17 y3 = 2sen 234º = -1,61 →-1,17 - 1,61i

r.α4 =2 306º = x4 = 2cos 306º = 1,17 y4 = 2sen 306º = 1,61 →1,17 + 1,61i

r.α5 =2 378º = x5 = 2cos 18º = 1,90 y5 = 2sen 18º = 0,61 →1,90 + 0,61i

Eneko Narbona Azken galdera (HEXAGONOA)

Adibidea

XABIER MARCOS-PENTAGONOA

PENTAGONOA

360/5=72º alde bakoitza.




FORMA POLARRA

C: 20º edo 2360º
D: 272º
E: 2144º
A: 2216º
B: 2288º

FORMA BINOMIKOAN

C: 2(cos 360+isin 360)= 2+0i
D: 2(cos 72+isin 72)= 0,62+1,72i
E: 2(cos 144+isin 144)= -1,62+1,16i
A: 2(cos 216+isin 216)= -1,62-1,16i
B: 2(cos 288+isin 288)= 0,62-1,9i


KOORDENATUAK

C: (2 , 0)
D: (0,62 , 1,72)
E: (-1,62 , 1,16)
A: (-1,62 , -1,16)
B: (0,62 , -1,9)

Pentagonoa

α1 = β/n

α2 = β/n + (360º/n)

α3 = β/n + (360º/n).2



Beraz segida baten moduan definitu dezakegu: αn = β/n + (360º/n).(n-1)




Pentagonoa 5 erpin dituenez n= 5.



α1= β/n

90º = β/5 ; β = 450º









α2 = 450/5 + (360º/5) = 90º + 72 = 162º



α3 = 450/5 + (360º/5) x 2 = 90º + 72 x 2 = 234º



α4 = 450/5 + (360º/5) x 3 = 90º + 72 x 3 = 306º



α5 = 450/5 + (360º/5) x 4 = 90º + 72 x 4 = 378º










Erpinak:

* rα1 = 2 90º = x1 = 2cos 90º = 0 y1 = 2sen 90º = 2

= 0 + 2i




* rα2 =2 162º = x2 = 2cos 162º = -1,90 y2 = 2sen 162º = 0,61

=-1,90 + 0,61i




* rα3 =2 234º = x3 = 2cos 234º = -1,17 y3 = 2sen 234º = -1,61

=-1,17 - 1,61i





* rα4 =2 306º = x4 = 2cos 306º = 1,17 y4 = 2sen 306º = 1,61

= 1,17 + 1,61i





* rα5 =2 378º = x5 = 2cos 18º = 1,90 y5 = 2sen 18º = 0,61

=1,90 + 0,61i

hexagonoa(marta villarreal)

Lehenik eta behin hexaagonoa aztertu behar dugu.Argi dago, hexagonoa erregularra izanik 60ºtako angelua eratuko dutela lehenengo irudian agertzen den bezala. Aztertu ditzagun bada erpinak.

Erroak V hitzarekin adierazi ditut. Ardatz kartesiar bat irudikatzea ez legoke gaizki, forma kartesiarreko kordenatuak errezago atera ditzagun.

E erpina

sin 30º=x/y x=-r.sin30º=-2.1/2=-1

cos30º=y/r y= r.cos30º=2V3/2= V3

Forma kartesiarra: (-1, V3)

Forma binomiala= -1+V3i

Forma polarra=

r= ERRO GUZTIA (-1)ber bi+(V3)ber bi=2

alfa= arctag V3/1= V3 Orain arctag V3 duena bilatzen duzu taulan eta 60ºko angelua dela konturatuko zara.

2(120º)

D erpina

sin 30º=x/r x=r.sin30º

x=2.1/2=1

cos30º=y/r y=r.cos30º y=2.V3/2= V3

F. kartesiarra

(1, V3)

F. binomiala

1+V3i

F polarra(lehen egin dugun prozeduari jarraituz, modulua ateraz)

2(60º)

A erpina

sin30º=-x/r= x=-rsin30º=-2.1/2=-1

cos30º=-y/r y=-rcos30º=-2.V3/2=-V3

F.kartesiarra

(-1, -V3)

F.binomiala

-1+(-V3)i

F.polarra

2(240º)

B erpina

sin60º=-y/r y=-rsin60º y=-2.V3/2=-V3

cos60º=x/y x= r.cos60º=2.1/2=1

F.kartesiarra

(1, -V3)

F.binomiala

1+(-V3)i

F.polarra

2(300º)

F erpina

Erradio bi denez, eta ardatz kartesiar bat irudikatuko bagenu, hau aterako litzateke:

F.kartesiarra

(-2,0)

F.binomiala

-5+oi

F.polarra

2(180º)

C erpina

F.kartesiarra

(2,0)

F.binomiala

2+0i

F.polarra

2(200º)

Prozedura bakar batzuetan azaldu dut. Nahiz eta erpin desberdinak izan jarraitu behar den prozedura berdina da, baina beste zenbaki batzuekin.

Eneko Narbona (ezin ditut erroak ezta berreketak irudikatu)

Aurreko atalak ikasi eta gero, pres egongo zara hurrengo galderari erantzuteko:Aurreko atalak ikasi eta gero, pres egongo zara hurrengo galderari erantzuteko:

A: Sin30=-x/r ⇨ x=-r.Sin30=-2.1/2=-1
Cos30=-y/r ⇨ y=-r.Cos30=-2.erro3/2=-3

A=(-1,-erro3)

A=-1-erro3i

A ⇨ r=(x)ber2+(y)ber2=(-1)ber2 +(-erro3)ber2=2
x=arctan-erro3/-1=arctanerro3=240gradu
A=2

240gradu






B: Sin60=-y/r ⇨ y=-r.Sin60=-2.erro3/2=-3
Cos60=x/r ⇨ x=r.Cos60=2.1/2=1

B=(1,-erro3)

B=1-erro3i

B ⇨ r=(x)ber2+(y)ber2=(1)ber2 +(-3)ber2=2
x=arctan-erro3/1=arctan-erro3=300gradu
B=2

300gradu





C=(2,0)

C=2+0i

C ⇨ r=(x)ber2+(y)ber2=(2)ber2 +(0)ber2=2
x=arctan0/2=arctan0=Ogradu
C=2O0






D: Sin30=x/r ⇨ x=r.Sin30=2.1/2=1
Cos30=y/r ⇨ y=r.Cos30=2.erro3/2=erro3

D=(1,erro3)

D=1+erro3i

D ⇨ r=(x)ber2+(y)ber2=(1)ber2 +(3)ber2=2
x=arctanerro3/1=arctanerro3=60gradu
D=2

60gradu




E: Sin30=-x/r ⇨ x=-r.Sin30=-2.1/2=-1
Cos30=y/r ⇨ y=r.Cos30=2.erro3/2=erro3

E=(-1,erro3)

E=-1+erro3i

E ⇨ r=(x)ber2+(y)ber2=(-1)ber2 +(3)ber2=2
x=arctan3-1=arctan-3=120gradu
E=2

120gradu







F=(-2,0)

F=-2+0i

F ⇨ r=(x)ber2+(y)ber2=(-2)ber2+(0)ber2=2
x=arctanO/-2=arctan0=180gradu

F=2

180gradu

xabier zarraga (pentagonoa)

2 unitateko erradioa duen zirkunferentzian, inskribaturiak dagoen pentagono erregular bat izanik, zeintzuk dira bere erpin guztien koordenatuak ?



zirkunferentziak 360º izanik, eta pentagonoak 5 alde izanda, argi dago alde bakoitzak 72º dituela.








FORMA POLARRA

A erpina: 2216
B erpina: 2288
C erpina: 20 edo 2360
D erpina: 272
E erpina: 2144


FORMA BINOMIKOA

A erpina: 2(cos 216+isin 216)= -1,62-1,16i
B erpina: 2(cos 288+isin 288)= 0,62-1,9i
C erpina: 2(cos 360+isin 360)= 2+0i
D erpina: 2(cos 72+isin 72)= 0,62+1,72i
E erpina: 2(cos 144+isin 144)= -1,62+1,16i

PUNTUEN KOORDENATUAK

A erpina: (-1,62 , -1,16)
B erpina: (0,62 , -1,9)
C erpina: (2 , 0)
D erpina: (0,62 , 1,72)
E erpina: (-1,62 , 1,16)

Iñigo Ancin (Pentagonoa)

Pentagonoa 5 alde ditu beraz: 360/5=72º. 72º ditu pentagonen aldeak. B erpinak 90º ditu beraz 90º-72º=18º. A angeluak 18º ditu.

A=18º

B=90º

C=162º

D=234º

E=306º

Forma Polarrean:

A=2_18º

B=2_90º

C=2_162º

D=2_234º

E=2_306º

Forma Polarretik--Kartesiarrera: A=2_18º 2=r 18º=θ

cos( θ ) = x / r---------

cos( 18°) = x / 2= 1,9 =X

sin (

θ

) = y / r----------

sin( 18º) = y / 2= 0,61 =Y

Forma Kartesiarrean:

A=(1,9;0,61)

B=(0;2)

C=(-1,9;0,61)

D=(-1,19:-1,61)

E=(1,19;-1,61)

Forma Binomikoan:

A=1,9+0,61i

B=2i

C=-1,9+o,61i

D=-1,19-1,61i

E=1,19-1,61i

2UNITATEKO ERRADIOA DUEN ZIRKUNFERENTZIAN, INSKRITUTA DAGOEN PENTAGONO ERREGULAR BAT IZANIK, ZEINTZUK DIRA BERE ERPIN GUZTIEN KOORDENATUAK?
ADIERAZI KOORDENATU HAUEK AURREKO ATALEAN IKASI DITUZUEN ERA GUZTIETARA.

Badakigu zenbaki konplexua 32(450º) dela, eta hori lortzeko erpin ezagunetik 2(90º) abiatu gara. Beraz gainerako erpinak lortzeko badakigu denen modulua berdina dela, hau da, 2. Horregatik formula jarraituz kalkula ditzakegu erpinak.

1) 2(90º) = 90º

2) 450/5 + (360º/5) = 90º + 72º= 162º

3) 450/5 + (360º/5).2 = 90º + 72º . 2 = 234º

4) 450/5 + (360º/5).3 = 90º + 72º . 3 = 306º

5) 450/5 + (360º/5).4 = 90º + 72º. 4 = 378º. Baina 378º-360º = 18º

FORMA POLARREAN:

1) D 2(90º)

2) E 2(162º)

3) A 2(234º)

4) B 2(306º)

5) C 2(18º)

FORMA BINOMIKOAN:

1) 2i

2) -1,90 + 0,61i

3) -1,17 - 1,61i

4) 1,17 - 1,61i

5) 1,90 + 0,61i

FORMA KARTESIARREAN:

1) (0,2)

2) (-1.90 , 0.61)

3) (-1.17 , -1.61)

4) (1.17 , -1.61)

5) (1.90 , 0.61)

Oiartso Pereña-Zenbaki konplexuak (pentagonoa)

2 unitateko erradioa duen zirkunferentzian, inskribaturiak dagoen pentagono erregular bat izanik, zeintzuk dira bere erpin guztien koordenatuak ??

• FORMA POLARREAN:
  
  
  
  • 272º, 2144º, 2216º, 2288º, 2360º
  
  
  
• FORMA BINOMIKOAN:

• 272º = 2(cos72+isin72) = 0,62+1,72i
• 2144º = 2(cos144+isin144) = -1,62+1,16i
• 2216º = 2(cos216+isin216) = -1,62-1,16i
• 2288º = 2(cos288+isin288) = 0,62-1,9i
• 2360º = 2(cos360+isin360) = 2+0i

• KOORDENATUAK:

• D: (0,62,1,72)
• E: (-1,62,1,16)
• A: (-1,62,-1,16)
• B: (0,62,-1,9)
• C: (2,0)

Eulerren identitatea

Ezaguna egiten zaizue identitate hau?

Eulerren identitatea.

Tatuajeak gustukoak badituzue, begiratu sarrera hau: http://zenbakiak.blogspot.com/2011/05/zenbakiak-tatuajetan.html.

Maite Gutiérrez-Zenbaki konplexuak-azkenengo galdera(Hexagonoa)

2 unitateko erradio duen zirkunferentzian , inskrituta dagoen hexagono erregular bat izanik , zeintzuk dira bere erpin guztien koordenatuak?

• 
  Forma polarrean:
  20º,260º,2120º,2180º,2240º,2300º



• 
  Forma binomikoan:



• 20º=2(cos0º+isin0º)=2



• 260º=2(cos60º+isin60º)=1+√3i
  


• 2120º=2(cos120º+isin120º)=-1+√3i



• 2180º=2(cos180º+isin180º)=-2



• 2240º=2(cos240º+isin240º)=-1-√3i



• 2300º=2(cos300º+isin300º)=1-√3i
  
  


• koordenatuak:

A(-1,-√3);B(1,-√3);C(2,0);D(1,√3);
E(-1,√3);F(-2,0)